优美的数学思维：问题求解与证明（原书第2版）

本书所选问题丰富有趣，文字表述思路清晰、通俗易懂，实例讲解细致深入，图例直观形象。每章均配有丰富习题供读者练习，适合作为数学及相关专业的数学思维课程教材，也可供广大数学爱好者、数学相关专业的科研人员和工程技术人员自学参考。相关图书有《数学之美》等。

本书以大量生动有趣的问题求解实例为背景，使用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍优美的数学思维和严谨的证明方法，所涉及的数学内容不仅包含函数与集合、数学归纳法理论、组合计算与组合证明、整数理论、数理逻辑、图论等离散数学，而且包含微积分与实数理论等连续数学，覆盖了多个不同的数学领域。本书内容在逻辑上层层展开、环环相扣，形成一套相对完备的知识体系，可以有效地激发学生的学习兴趣，唤醒学生的数学潜能和数学思维。本书可以作为数学、计算机以及人工智能等专业学生的数学入门读物。

译者序<br /><br />写给教师<br /><br />写给学生<br />第一部分基本概念<br /><br />第1章数、集合与函数/2<br /><br />求根公式/2<br /><br />基本不等式/4<br /><br />集合/5<br /><br />函数/9<br /><br />原象与水平集/13<br /><br />实数系统/14<br /><br />解题方法/16<br /><br />习题/19<br /><br />第2章语言与证明/25<br /><br />关于方程的两个定理/25<br /><br />量词与逻辑语句/27<br /><br />复合语句/31<br /><br />基本证明技术/34<br /><br />解题方法/37<br /><br />习题/41<br /><br />第3章归纳法/48<br /><br />归纳法原理/48<br /><br />应用/55<br /><br />强归纳法/59<br /><br />解题方法/62<br /><br />习题/67<br /><br />第4章双射与基数/72<br /><br />自然数的表示/72<br /><br />双射/75<br /><br />单射与满射/78<br /><br />函数的复合/79<br /><br />基数/81<br /><br />解题方法/85<br /><br />习题/87<br /><br />第二部分数的性质<br /><br />第5章组合推理/94<br /><br />排列与组合/94<br /><br />二项式系数/98<br /><br />置换/104<br /><br />函数有向图/105<br /><br />解题方法/108<br /><br />习题/110<br /><br />第6章整除性/116<br /><br />因子与因子分解/116<br /><br />欧几里得算法/118<br /><br />飞镖板问题/120<br /><br />多项式的扩展知识（选学）/122<br /><br />习题/124<br /><br /><br /><br />ⅩⅧ<br /><br />ⅩⅨ<br />第7章模算术/130<br /><br />关系/130<br /><br />同余/132<br /><br />应用/135<br /><br />费马小定理/136<br /><br />同余与群（选学）/138<br /><br />习题/140<br /><br />第8章有理数/145<br /><br />有理数与几何/146<br /><br />无理数/148<br /><br />毕达哥拉斯三元组/150<br /><br />Q的进一步性质（选学）/152<br /><br />习题/153<br /><br />第三部分离散数学<br /><br />第9章概率/158<br /><br />概率空间/158<br /><br />条件概率/161<br /><br />随机变量与期望/164<br /><br />多项式系数/167<br /><br />习题/170<br /><br />第10章两个计数原理/174<br /><br />鸽笼原理/174<br /><br />容斥原理/177<br /><br />习题/181<br /><br />第11章图论/185<br /><br />哥尼斯堡桥问题/186<br /><br />图的同构/189<br /><br />连通性与树/192<br /><br />二分图/196<br /><br />着色问题/199<br /><br />可平面图/202<br /><br />习题/206<br /><br />第12章递推关系/210<br /><br />一般性质/211<br /><br />一阶递推/212<br /><br />二阶递推/215<br /><br />一般线性递推/217<br /><br />其他典型递推/220<br /><br />生成函数（选学）/222<br /><br />习题/225<br /><br />第四部分连续数学<br /><br />第13章实数/232<br /><br />完备性公理/232<br /><br />极限与单调收敛/234<br /><br />十进制展开与不可数/238<br /><br />解题方法/241<br /><br />习题/242<br /><br />第14章序列与级数/245<br /><br />序列的收敛性/245<br /><br />柯西序列/249<br /><br />无穷级数/251<br /><br />解题方法/256<br /><br />习题/259<br /><br />第15章连续函数/265<br /><br />极限与连续性/265<br /><br />连续性的应用/269<br /><br />连续性与闭区间/272<br /><br />习题/274<br /><br />第16章微分/278<br /><br />导数/279<br /><br />导数的应用/284<br /><br />牛顿法/288<br /><br />凸性与曲率/289<br /><br />函数级数/293<br /><br />习题/298<br /><br />第17章积分/305<br /><br />积分的定义/305<br /><br />微积分基本定理/313<br /><br />指数与对数/315<br /><br />三角函数与π/317<br /><br />回到无穷级数/319<br /><br />习题/322<br /><br />第18章复数/327<br /><br />复数的性质/327<br /><br />极限与收敛性/330<br /><br />代数基本定理/332<br /><br />习题/333<br />附录A从N到R/336<br /><br />附录B部分习题提示/347<br /><br />附录C推荐阅读/363<br /><br />附录D符号列表/365