从零开始读懂线性代数

1.启迪数学智慧，构建学习新视角：本书从向量与空间出发，为读者构建了从几何直观到代数表达的全新学习路径，带你领略线性变换的结构之美，激发你的抽象思维与推理能力。
2.揭示线性本质，打通代数与几何的桥梁：本书系统阐述从具体向量到抽象线性空间的升华过程，阐明线性代数作为现代数学基础的核心地位，帮助你清晰把握线性结构与高维几何的内在联系。
3.领悟矩阵之力，掌握代数核心原理：本书深入剖析矩阵运算、行列式、特征值等核心内容，通过“局部—整体”与“映射—空间”的双重视角，带你真正理解线性代数的基本框架与思想方法。
4.结合现代应用，拓展学科视野：本书通过最小二乘法、奇异值分解、图像压缩、机器学习分类等丰富案例，展现线性代数在科学计算与数据领域的强大实践价值，提升你运用代数工具解决实际问题的能力。
5.一本在手，线性代数无忧：无论你是初学者还是希望深化理解的探索者，这本书都能成为你可靠的学习伙伴。从向量空间到傅里叶分析，从矩阵运算到机器学习应用，它系统而完整地陪伴你在线性代数的世界中不断前行。

本书围绕线性代数的核心内容，共分为四个篇章：第1篇介绍了线性代数的基本对象，包括向量的基本运算及最常见的线性空间——欧氏空间；第2篇介绍了矩阵理论及线性方程组的系统解法，通过贴近生活的实例，图文并茂地解释了线性代数的核心功能；第3篇从线性映射的角度重新讲解线性系统，包含内积、正交性、特征值、奇异值、对角化等线性代数中最重要的概念；第4篇介绍了一般的线性空间，特别是无限维线性空间，在无限维线性空间理论的基础上解释了傅里叶分析这一工程学利器的原理和应用。
本书适合以下读者群体：数学、计算机、工程等专业的学生可将其作为辅助教材，职场人士（如管理领域、IT从业者）可从中学习线性代数应用知识，数学爱好者能通过跨学科案例（如电影评分推荐系统、图像数据压缩）激发学习兴趣，教育工作者可借鉴其中的可视化教学和案例式教学方法，交叉科学研究者则可从中获取代数与几何研究工具。本书注重理论与实践相结合，能满足不同读者的学习需求。

唐舜
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唐舜，首都师范大学教授，2011年在法国巴黎第十一大学取得数学博士学位，随后在德国马克斯-普朗克数学研究所从事博士后研究工作，曾在有近200年历史的国际著名数学期刊《克雷尔杂志》和《伦敦数学会进展》独立发表学术论文，担任美国数学会《数学评论》和德国《数学文摘》评论员。
担任中国科协和教育部“英才计划”以及北京青少年科技俱乐部指导教师，曾指导中学生获得北京市青少年科技创新大赛二等奖。所讲授的《解析几何》课程B站播放量超过22万；撰写的“知乎”数学科普专栏阅读总量超过60万。著有《从零开始读懂微积分》（北京大学出版社）

胡煜成
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胡煜成，首都师范大学交叉科学研究院副研究员，北京大学数学博士，曾任美国加州大学尔湾分校访问助理教授。从事生物数学建模和数值模拟方向的研究，在Nature，Cell等国际著名期刊发表多篇高水平论文，主持多个guo家级科研项目，担任中国科协和教育部“英才计划”指导教师。

时骥
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时骥，首都师范大学交叉科学研究院副研究员，清华大学数学博士。从事控制论、深度学习方向的研究，在SIAM Contr. Optim., IEEE TAC等国际著名期刊发表多篇高水平论文，主持和参与多个guo家级科研项目，讲授《线性代数》《数据挖掘与机器学习》《深度学习》等本科和研究生课程。

朱智贤
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朱智贤，首都师范大学交叉科学研究院副研究员，美国密歇根大学数学博士，曾任美国加州大学河滨分校访问助理教授。从事代数几何方向的研究，在Adv.Math.、Math. Z.等国际著名数学期刊发表多篇高水平论文，主持guo家级科研项目，担任美国数学会《数学评论》和德国《数学文摘》评论员。

第1篇 坐标：揭开线性代数的神秘面纱
第1章 向量的表示与运算
1.1 认识向量
1.2 向量的分解与线性表示
1.3 三维空间的向量
第2章 线性空间和维数
2.1 欧氏空间中的运算
2.2 线性空间的大小
2.3 什么是维数
2.4 基——线性空间的骨架
第3章 从几何的角度认识行列式
3.1 平行四边形的有向面积
3.2 有向面积与向量数乘的关系
3.3 有向面积与向量加法的关系
3.4 二阶行列式
第4章 高阶行列式的由来
4.1 三维空间的定向
4.2 有向体积与三阶行列式
4.3 高阶行列式的公理化定义
第5章 克拉默法则
5.1 反解线性系统
5.2 克拉默法则的表述
5.3 克拉默法则的证明
第6章 行列式的计算复杂度
6.1 行列式显示计算公式的计算复杂度
6.2 行列式按列（行）展开的计算复杂度
6.3 消元法的计算复杂度
第7章 范德蒙德行列式
7.1 可变成本预测
7.2 范德蒙德行列式与多项式插值
7.3 范德蒙德行列式的计算
第2篇 矩阵：踏入线性代数的核心领地
第8章矩阵的概念和例子
8.1 线性方程组中的矩阵
8.2 关联矩阵——疫情流调
8.3 样本矩阵——美食点评
8.4 欧氏空间的线性映射
第9章 矩阵的运算
9.1 线性映射的运算
9.2 实矩阵的运算
9.3 丰富多彩的矩阵乘法
第10章 矩阵的转置与行列式
10.1 矩阵的转置
10.2 方阵的行列式
10.3 伴随矩阵
第11章 可逆矩阵
11.1 矩阵的逆
11.2 矩阵求逆与方程组求解
11.3 热平衡网格
第12章 矩阵分块——矩阵计算加速器
12.1 分块矩阵的加法和数乘
12.2 分块矩阵的乘法与转置
12.3 案例回顾：成分分析
12.4 分块矩阵的实际应用
第13章 矩阵的初等变换和初等矩阵
13.1 初等行变换与行阶梯形矩阵
13.2 初等矩阵
13.3 初等矩阵的性质
第14章 矩阵秩的三张面孔
14.1 行最简形矩阵的非零行个数
14.2 非零子式的最高阶数
14.3 线性无关行向量的最大个数
第15章 低秩矩阵
15.1 电影评分
15.2 电影属性矩阵和用户偏好矩阵
15.3 如何分析样本的关联性
15.4 评分矩阵的建模
15.5 预测缺失的评分
第16章 线性方程组解的结构
16.1 齐次线性方程组
16.2 非齐次线性方程组
第3篇 映射：扭转线性代数的虚空之门
第17章 线性空间和线性映射
17.1 空间的封闭性
17.2 重新理解矩阵与向量的乘积
17.3 线性映射
第18章 线性方程组的线性空间视角
18.1 列空间
18.2 列空间的基与维数
18.3 零空间
18.4 转置矩阵的列空间和零空间
第19章 图与线性代数
19.1 图的数学模型
19.2 图矩阵的零空间
19.3 基尔霍夫定律
19.4 图转置矩阵的零空间
19.5 线性代数基本定理与欧拉公式
19.6 电路求解
第20章 最小二乘法与正交投影
20.1 发现谷神星
20.2 线性最小二乘法
20.3 正交
20.4 正交投影
第21章 标准正交基
21.1 可逆矩阵与欧氏空间的基
21.2 标准正交基的优点
21.3 小波基
21.4 正交矩阵
21.5 Gram-Schmidt正交化
第22章 基变换
22.1 坐标变换
22.2 过渡矩阵和坐标变换公式
22.3 正交基变换与正交矩阵
22.4 应用案例：文物数字孪生
第23章 特征值与特征向量
23.1 定义与计算
23.2 几何意义
23.3 斐波那契数列
第24章 相似对角化
24.1 矩阵的幂
24.2 矩阵的指数函数
24.3 不能对角化的矩阵
第25章 马尔可夫矩阵
25.1 马尔可夫过程与马尔可夫矩阵
25.2 平稳分布
25.3 PageRank算法
第26章 实对称矩阵
26.1 实际问题中的对称矩阵
26.2 实对称矩阵的对角化
26.3 谱分解
第27章 二次型
27.1 齐次二次曲线与二次型
27.2 齐次二次曲线的分类
27.3 齐次二次曲面
第28章 正定矩阵
28.1 正定与半正定
28.2 物理系统与正定矩阵
28.3 再看Gram矩阵
28.4 极值问题
第29章 奇异值分解
29.1 奇异值分解的几何意义
29.2 如何计算奇异值分解
29.3 计算案例
29.4 应用案例：图像数据压缩
第4篇 升维：开启线性代数的进阶之路
第30章 线性空间万花筒
30.1 线性空间概念回顾
30.2 线性空间的例子
30.3 非线性空间的例子
第31章 线性空间的同构
31.1 一般线性空间之间的线性映射
31.2 什么是线性空间的同构
31.3 同构定理
31.4 同构的线性空间举例
第32章 无限维线性空间
32.1 无限维线性空间的基
32.2 无限维线性空间的例子
第33章 傅里叶分析三部曲之傅里叶展开
33.1 欧拉的秘籍
33.2 傅里叶的功绩
33.3 不连续函数的傅里叶展开
第34章 傅里叶分析三部曲之傅里叶变换
34.1 傅里叶展开的复指数形式
34.2 傅里叶变换和逆变换
34.3 傅里叶变换的应用
第35章 傅里叶分析三部曲之傅里叶滤波
35.1 信号
35.2 傅里叶信号滤波
35.3 信号滤波的例子
第36章 机器学习与分类
36.1 分类问题
36.2 数据在欧氏空间中的表示
36.3 支持向量机
36.4 支持向量机的应用实例