微积分的历程：从牛顿到勒贝格

    “微积分”这一名称出现在哪本书中？微积分教科书又是谁人所写？微积分是谁发明的？洛必达法则居然是伯努利的研究成果？谁被誉为“分析学的化身”？谁又被誉为“现代分析学之父”？哪些数学天才使微积分的创建过程终于画上句号？……《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》将带你一一探究上述问题。  《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》宛如一座陈列室，汇聚了十多位数学大师的杰作，当你徜徉其中时会对人类的想象力惊叹不已，当你离去时必然满怀对天才们的钦佩感激之情。作者同读者一起分享了分析学历史中为人景仰的理论成果。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导。到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，到今还闪烁着耀眼夺目的光芒。《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》文风典雅，文笔优美，兼具趣味性和学术性。对于中学生75 A大学师生，都是极为难得的课外读物。

    《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》介绍了十多位数学家：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格。然而，这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。作者选择介绍了历目前的若干杰作（重要定理），优雅地呈现了微积分从创建到完善的漫长、曲折的过程。<br>    《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》兼具趣味性和学术性，对基础知识的要求很低，可作为本科生、研究生和数学工作者的微积分补充读物，更是数学爱好者的佳肴。

    邓纳姆（William Dunham），世界知名的数学史专家，现为美国穆伦堡学院教授。Dunrlam教授著述颇丰，较有影响的著作还有Journey Through Genius：The Great Theorems of athematics和The Mathematical LIniverse，后者被美国出版商协会评为1994.年年度数学书。Dunham还分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的George Polya奖、Trevor Evarls奖和Lester R.Ford奖。

目  录

前言  1

第 1章  牛顿  7
  广义二项展开式  8
  逆级数  11
  《分析学》中求面积的法则  14
  牛顿的正弦级数推导  18
  参考文献  22

第 2章  莱布尼茨  24
  变换定理  27
  莱布尼茨级数  35
  参考文献  40

第3章  伯努利兄弟  41
  雅各布和调和级数  43
  雅各布和他的垛积级数  47
  约翰和xx  52
  参考文献  57

第4章  欧拉  59
  欧拉的一个微分  60
  欧拉的一个积分  62
  π的欧拉估值  63
  引人注目的求和  67
  伽玛函数  72
  参考文献  76

第5章  第 一次波折  78
  参考文献  86

第6章  柯西  87
  极限、连续性和导数  88
  介值定理  91
  中值定理  94
  积分和微积分基本定理  97
  两个收敛判别法  102
  参考文献  107

第7章  黎曼  109
  狄利克雷函数  112
  黎曼积分  114
  黎曼病态函数  121
  黎曼重排定理  126
  参考文献  129

第8章  刘维尔  131
  代数数与超越数  132
  刘维尔不等式  136
  刘维尔超越数  141
  参考文献  145

第9章  魏尔斯特拉斯  146
  回到基本问题  148
  四个重要定理  158
  魏尔斯特拉斯病态函数  160
  参考文献  170

第 10章  第 二次波折  171
  参考文献  181

第 11章  康托尔  182
  实数的完备性  183
  区间的不可数性  186
  再论超越数的存在  190
  参考文献  195

第 12章  沃尔泰拉  196
  沃尔泰拉病态函数  198
  汉克尔的函数分类  200
  病态函数的限度  204
  参考文献  210

第 13章  贝尔  211
  无处稠密集  212
  贝尔分类定理  215
  若干应用  219
  贝尔的函数分类  225
  参考文献  228

第 14章  勒贝格  230
  回归黎曼积分  231
  零测度  232
  集合的测度  239
  勒贝格积分  243
  参考文献  250

后记  252

    “很好好的一本书……我预测，这本书必将成为其所在领域的杰作。”  ——Victor J.Katz（美国数学史学家）
  “一本奇妙的著作！内容是那么吸引人。阐述清晰.容易理解……从事数学和历史研究的人，都可以从中吸收很好有趣昧的内容.学到很好有意义的数学知识。”    ——Judith V.Grabiner。（美国数学史学家）
  “在所有论述数学发展的著作中.这是我所读过的好的作品之一，Dunham用自己的话详细地呈现出数学巨匠们的思想脉络。但是每种新思想又都是用现代术语和符号描述的。所以我读起来不会有困难。此外，整本书组织严密。令人称道，其情节跌宕起伏，宛如一个侦探故事。”——Henry O.Pollak（美籍奥地利数学家。哥伦比亚大学师范学院教授）