超奇异积分的数值计算及应用

超奇异积分是对经典黎曼积分和柯西型奇异积分的推广，应用边界元法求解科学与工程计算问题时需要数值求解超奇异积分方程。本书系统介绍超奇异积分的定义、性质和数值方法，包括奇异核级数展开法、奇异部分分离计算法、高斯求积公式、牛顿-科茨型求积公式、S型变换法、正则化方法以及外推法等，这些方法可以应用于Galerkin边界元法及配置边界元法中超奇异积分方程的数值求解。

目录
前言
第1章  引言  1
第2章  边界归化方法和典型域上的超奇异积分方程  4
2.1  边界归化方法  4
2.1.1  间接边界归化方法  4
2.1.2  直接边界归化方法  11
2.1.3  边界积分方程的数值解法  13
2.1.4  自然边界归化的基本思想  15
2.2  典型域上的Poisson积分公式及超奇异积分方程  19
2.2.1  Ω为上半平面  20
2.2.2  Ω为圆内区域  21
2.2.3  Ω为圆外区域  23
2.2.4  Ω为球内外区域  24
第3章  超奇异积分定义  28
3.1  柯西型奇异积分定义  28
3.1.1  柯西主值积分定义  29
3.1.2  二维柯西主值积分定义  31
3.1.3  Hilbert型奇异积分定义  33
3.1.4  多奇异核积分定义  33
3.2  超奇异积分定义  34
3.2.1  Hadamard有限部分积分定义  35
3.2.2  奇异部分分离定义  37
3.2.3  积分核级数展开法  38
3.2.4  求导定义  40
3.2.5  正则化方法及间接计算法  44
3.2.6  超奇异积分性质  46
3.3  超奇异积分的推广  47
3.3.1  整数阶超奇异积分的推广  47
3.3.2  实数阶超奇异积分  50
3.3.3  二维奇异积分与超奇异积分的定义  51
第4章  超奇异积分的计算  54
4.1  超奇异积分的准确计算  54
4.1.1  柯西主值积分的准确计算  54
4.1.2  有限部分积分的准确计算  60
4.1.3  任意阶超奇异积分的准确计算  65
4.2  牛顿-科茨积分公式  69
4.2.1  梯形公式和辛普森公式近似计算二阶超奇异积分  71
4.2.2  二阶超奇异积分近似计算的改进算法  74
4.2.3  数值算例  78
4.3  高斯积分公式  79
4.3.1  公式的提出  79
4.3.2  主要结论  84
4.4  基于辛普森公式的三阶超奇异积分近似计算  88
4.4.1  公式的提出  88
4.4.2  数值积分公式  92
4.4.3  数值算例  95
4.5  自适应算法近似计算超奇异积分  95
4.5.1  区间上奇异点与剖分节点重合时的误差估计  95
4.5.2  圆周上奇异点与剖分节点重合时的误差估计  102
4.5.3  数值算例  105
4.6  其他数值方法  107
第5章  区间上超奇异积分的超收敛现象  113
5.1  梯形公式近似计算超奇异积分  113
5.1.1  积分公式的提出  113
5.1.2  主要结论  115
5.1.3  当p=1时定理5.1.1的证明  124
5.1.4  专享性证明  124
5.1.5  当p=2时定理5.1.1的证明  125
5.1.6  数值算例  128
5.2  辛普森公式近似计算区间上二阶超奇异积分  130
5.2.1  积分公式的提出  130
5.2.2  主要结论  130
5.2.3  专享性证明  135
5.2.4  数值算例  137
5.3  牛顿-科茨公式近似计算区间上二阶超奇异积分  137
5.3.1  主要结论  138
5.3.2  定理5.3.2的证明  139
5.3.3  超收敛点的存在性  144
5.3.4  数值算例  150
5.4  辛普森公式近似计算区间上三阶超奇异积分    151
5.4.1  积分公式的提出  152
5.4.2  主要结论  152
5.4.3  定理5.4.1的证明  158
5.4.4  超收敛点的存在专享性  158
5.4.5  超收敛点的一些应用  162
5.4.6  数值算例  165
5.5  牛顿-科茨公式近似计算区间上三阶超奇异积分  168
5.5.1  积分公式的提出  168
5.5.2  主要结论  171
5.5.3  S′k(τ)的计算  173
5.5.4  定理5.5.2的证明  176
5.5.5  数值算例  182
5.6  牛顿-科茨公式近似计算区间上任意阶超奇异积分  184
5.6.1  积分公式的提出  184
5.6.2  主要结论  185
5.6.3  特殊函数S(p)k(τ)的性质  185
5.6.4  数值算例  186
第6章  圆周上超奇异积分的超收敛现象  188
6.1  梯形公式近似计算圆周上的二阶超奇异积分    188
6.1.1  积分公式的提出  190
6.1.2  主要结论  192
6.1.3  定理  6.1.3  的证明  199
6.1.4  梯形公式的一些应用  199
6.1.5  数值算例  205
6.2  牛顿-科茨公式近似计算圆周上的二阶超奇异积分  207
6.2.1  积分公式和超收敛结论  209
6.2.2  定理6.2.2的证明  211
6.2.3  超收敛点的存在性  222
6.2.4  科茨系数的计算  225
6.2.5  数值算例  227
6.3  梯形公式近似计算圆周上的三阶超奇异积分    231
6.3.1  积分公式的提出  231
6.3.2  主要结论  233
6.3.3  定理6.3.1的证明  242
6.3.4  数值算例  246
6.4  辛普森公式近似计算圆周上三阶超奇异积分  250
6.4.1  积分公式的提出  251
6.4.2  主要结论  251
6.4.3  定理6.4.1的证明  252
6.4.4  数值算例  260
第7章  外推法近似计算超奇异积分  263
7.1  外推法近似计算区间上二阶超奇异积分  263
7.1.1  主要结论  264
7.1.2  定理7.1.1的证明  273
7.1.3  外推算法  275
7.1.4  数值算例  278
7.2  外推法近似计算圆周上二阶超奇异积分  281
7.2.1  主要结论  281
7.2.2  定理7.2.1的证明  288
7.2.3  外推算法  290
7.2.4  数值算例  292
第8章  配置法求解区间上和圆周上的超奇异积分方程  296
8.1  基于中矩形公式的配置法求解区间上的超奇异积分方程  296
8.1.1  积分公式的提出  296
8.1.2  主要结论  299
8.1.3  配置法求解区间上的超奇异积分方程  303
8.1.4  数值算例  310
8.2  基于中矩形公式的配置法求解圆周上的超奇异积分方程  312
8.2.1  积分公式的提出  313
8.2.2  主要结论  315
8.2.3  配置法求解圆周上的超奇异积分  321
8.2.4  数值算例  328
参考文献  330