仁者无敌面积法：巧思妙解学几何

几何问题，千变万化，难以捉摸。有没有一定之规？
解题过程，千转百回，时难突破。有没有坦途捷径？
面积法，融汇古今数学智慧，利用面积关系巧解数学难题。
面对万千题型，一招制敌！

张景中院士从事面积法研究、教学数十年，使这一古老数学思想焕发新机。
彭翕成博士深得面积法之精髓，妙笔生花，精彩演绎，让你手不释卷。

一册在手，让你了解课本上学不到的解题方法。
高手指点，让你快速找到学习数学的门径。
从此，把数学变简单.

面积法是一种有着悠久历史的传统方法。近几十年来, 面积法体系得到进一步的发展, 焕发出新的生命力, 如今已成为平面几何中的基本方法，甚至成为解决很多几何难题的通法。

本书介绍了用面积法解题的基本工具 (共边定理和共角定理) 以及指导思想 (消点法), 并辅以大量例题来说明用面积法解题的有效性。 另外, 书中还介绍了面积法与勾股定理、 托勒密定理等的关系, 以及面积法在不等式、 三角等多个数学分支中的应用。 本书以面积法为主线, 串接了许多有趣的数学内容, 适合中小学师生以及数学爱好者阅读。

我们很高兴看到读者对我们的认可。现在，我们对这本书进行了完善并重新出版,希望能对你学习几何有一点帮助 .

彭翕成
博士，数学科普作家,现工作于华中师范大学,主要从事数学文化传播和数学教育技术的普及.发表文章百余篇，出版作品十余部，主要有《数学哲学》《绕来绕去的向量法》《数学教育技术》《课本上学不到的数学》《师从张景中》《向量、复数与质点》《不等式探秘》《从初等数学到高等数学》《点几何解题》《数学人的逻辑》等.近年从事几何定理机器证明研究，提出了恒等式证题算法等，使得数以千计的几何题一行解决，并能举一反三发现新命题，将原有的可读水平推进到明证水平.

张景中
数学家和数学教育家，中国科学院院士，曾任四川省计算机学会理事长、第四届中国科普作家协会理事长、第一届中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长.机器证明、教育信息技术领域国内外的专业人士，对几何定理可读机器证明、教育数学、距离几何及动力系统、教育信息技术学等科领域以及数学科普做出了突出贡献，成果显著.曾获国家技术发明奖二等奖、国家自然科学奖二等奖、国家科学技术进步奖二等奖、中国科学院自然科学奖一等奖、中国计算机学会终身成就奖、中国国家图书奖、五个一工程奖、全国五一劳动奖章、全国优秀科普作品奖等.荣获“建国以来贡献突出的科普作家”等荣誉称号.

第 1 章 面积法与勾股定理 1
1.  1 面积法的起源  1
1.  2 勾股定理的拼摆证明  5
1.  3 勾股定理的分割证明  10
1.  4 赵爽弦图的应用举例  13
第  2 章 共边定理、 共角定理和消点法  21
2.  1 共边定理  21
2.  2 共角定理  29
2.  3 消点法  32
2.  4 几何定理的机器证明  39
第  3 章 共边定理的两种变式  48
3.  1 合分比形式的共边定理  48
3.  2 定比分点形式的共边定理  53
3.  3 从解析法看共边定理  61
第  4 章 等积变换  63
4.  1 平行线与等积变换  63
4.  2 蝶形定理  74
4.  3 单尺作图  77
第  5 章 面积割补  81
5.  1 细分法  81
5.  2 割补法  90
5.  3 面积法与中位线  95
第  6 章 面积法与数形结合  105
第  7 章 面积问题  113
7.  1 趣味面积问题  113
7.  2 面积比例问题  127
第  8 章 线段问题  138
8.  1 线段比例问题  138
8.  2 线段比例和问题  146
8.  3 等边三角形经典问题  150
第  9 章 角度问题  154
9.  1 与角度相关的面积问题  154
9.  2 用面积法求角度  163
第  10 章 面积法与不等式  170
10.  1 面积缩放  170
10.  2 几何不等式  178
第  11 章 面积法与三角恒等式  189
第  12 章 海伦-秦九韶公式  196
第  13 章 托勒密定理  204
第  14 章 三角形内一点问题  211
第  15 章 有向面积  222
第  16 章 面积法的局限性  227
第  17 章 高等数学与面积法  234
17.  1 微积分与面积法  234
17.  2 线性代数与面积法  241
17.  3 几何概型与面积法  245
17.  4 面积法还能走多远  246
附录  勾股定理的万能证明  248
参考文献  254
后记  255

1974年,我给中学生讲课时发现面积法非常有效.从1974年到1992年,我用面积法研究几何18年,发现其中的关键是消点，用面积消点法实现了可读机器证明，从此相当多的几何题有了解题通法，而不再依靠“灵光闪现”.
一方面，面积法是解题利器，能快速、简洁地解出很多用传统方法难以解决的问题.另一方面，面积法将几何、代数、三角、不等式等众多知识串联起来，让你将所学的知识融会贯通，更加系统化.
数学家 张景中院士

实现几何直观和代数计算的深度融合，面积法无疑是其中重要的方法之一.
数学科普作家 彭翕成博士